실습 · 연습문제 2개

예측 단계가 끝난 사전분포 $\mathcal{N}(\mathbf{m}^-, \mathbf{P}^-)$와 새 측정 $\mathbf{y} = \mathbf{H}\mathbf{x} + \mathbf{v}$, $\mathbf{v} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{R})$가 주어졌다. 갱신 단계는 다음과 같다.

$$\mathbf{S} = \mathbf{H}\mathbf{P}^-\mathbf{H}^\top + \mathbf{R}, \qquad \mathbf{K} = \mathbf{P}^-\mathbf{H}^\top\mathbf{S}^{-1},$$ $$\mathbf{m} = \mathbf{m}^- + \mathbf{K}(\mathbf{y} - \mathbf{H}\mathbf{m}^-), \qquad \mathbf{P} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}\mathbf{H})\mathbf{P}^-.$$

함수 kf_update(m, P, y, H, R)를 완성해 (m_new, P_new)를 반환한다.

인자	shape
m	(n,)
P	(n, n)
y	(k,)
H	(k, n)
R	(k, k)

테스트는 다음을 확인한다.

• 11.4장의 가우시안 조건부분포 공식으로 계산한 결과와 같다.
• 측정 잡음이 매우 크면 갱신이 거의 일어나지 않는다.
• 갱신된 공분산은 대칭이고, 측정한 방향의 분산은 줄어든다.

힌트: $\mathbf{S}^{-1}$을 직접 구하지 말고 np.linalg.solve(S, ...)를 쓴다. $\mathbf{K} = \mathbf{P}^-\mathbf{H}^\top\mathbf{S}^{-1}$이고 $\mathbf{S}$가 대칭이므로 $\mathbf{K}^\top = \mathbf{S}^{-1}\mathbf{H}\mathbf{P}^-$다.

시간미분 $\dot{\mathbf{X}} \in \mathbb{R}^{T \times d}$와 후보 함수 라이브러리 $\mathbf{\Theta} \in \mathbb{R}^{T \times p}$가 주어졌을 때

$$\dot{\mathbf{X}} \approx \mathbf{\Theta}\,\mathbf{\Xi}$$

를 만족하는 희소한 계수 행렬 $\mathbf{\Xi} \in \mathbb{R}^{p \times d}$를 순차 임계 최소제곱(STLSQ)으로 구한다.

1. 최소제곱 해 $\mathbf{\Xi}$로 시작한다.
2. 절댓값이 thresh보다 작은 계수를 0으로 만든다.
3. 출력 열 $k$마다, 0이 아닌 계수에 해당하는 라이브러리 열만으로 최소제곱을 다시 풀어 그 계수들을 갱신한다.
4. 2–3을 iters번 반복한다.

함수 stlsq(Theta, dX, thresh, iters=10)를 완성해 Xi(shape (p, d))를 반환한다. 한 번 0이 된 계수는 다시 살아나지 않는다(3단계에서 남은 열만 쓰므로).

테스트는 감쇠 진동자 $\dot{x} = -0.1x + 2y$, $\dot{y} = -2x - 0.1y$의 궤적과 2차까지의 단항식 라이브러리로, 참 계수 네 개만 남는지 확인한다.

힌트: np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)[0]. 열 선택에는 불리언 마스크를 쓴다.