실습 · 연습문제 2개

독립이고 같은 분포를 따르는 $X_1, \dots, X_n$의 표본 평균 $\bar{X}_n$이 참 평균 $\mu$에서 $t$ 이상 벗어날 확률을 $\delta$ 이하로 만들고 싶다. 두 부등식이 각각 충분한 표본 수를 준다.

• Chebyshev (분산 $\sigma^2$만 알 때): $\Pr(\lvert \bar{X}_n - \mu \rvert \ge t) \le \dfrac{\sigma^2}{n t^2}$
• Hoeffding (값이 구간 $[a, b]$에 있을 때): $\Pr(\lvert \bar{X}_n - \mu \rvert \ge t) \le 2\exp\!\Big(-\dfrac{2 n t^2}{(b - a)^2}\Big)$

두 함수를 완성한다. 각각 우변이 $\delta$ 이하가 되는 가장 작은 정수 $n$을 반환한다.

1. chebyshev_n(t, delta, sigma)
2. hoeffding_n(t, delta, a, b)

테스트는 반환한 $n$에서 경계가 $\delta$ 이하이고 $n - 1$에서는 $\delta$보다 큰지, 그리고 Hoeffding이 준 $n$으로 실제 시뮬레이션을 했을 때 벗어나는 비율이 $\delta$ 이하인지 확인한다.

힌트: 부등식을 $n$에 대해 풀고 math.ceil로 올림한다. 두 경계 모두 $\delta$가 작아질 때 필요한 $n$이 어떻게 늘어나는지 비교해 본다.

측정을 $G$개의 배치(장비·날짜·시료 묶음)로 나눠 배치마다 $n$번씩 했다. 측정값 배열 y의 shape은 (G, n)이다. 전체 분산의 법칙

$$\operatorname{Var}(Y) = \mathbb{E}\big[\operatorname{Var}(Y \mid \text{배치})\big] + \operatorname{Var}\big(\mathbb{E}[Y \mid \text{배치}]\big)$$

을 표본에 적용해, 함수 variance_decomposition(y)가 (total, within, between)을 반환하게 한다.

반환값	의미
total	모든 측정값을 하나로 모은 분산
within	배치마다 구한 분산의 평균 (배치 안 분산)
between	배치 평균들의 분산 (배치 간 분산)

세 분산 모두 개수 그대로 나누는 분산(np.var의 기본값, ddof=0)으로 계산한다. 이렇게 하면 배치 크기가 같을 때 total == within + between이 반올림 오차 안에서 정확히 성립한다. 테스트는 이 항등식, 배치 간 차이가 없을 때와 배치 안 잡음이 없을 때의 극단적인 경우, 그리고 시뮬레이션 데이터에서 각 성분이 이론값에 가까운지를 확인한다.

힌트: axis 인자로 배치 방향의 평균과 분산을 구한다.