실습 · 연습문제 1개

길이 $L$인 주기 영역의 균일 격자 $N$점에서 주어진 실수 장 $u_j$의 에너지 스펙트럼을 계산한다. 학습된 시뮬레이터가 작은 규모를 뭉개는지(고파수 에너지 부족) 또는 비물리적 진동을 만드는지(고파수 에너지 과잉)를 보는 기본 지표다.

이산 Fourier 계수를 $\hat{u}_m = \frac{1}{N}\sum_j u_j e^{-2\pi i jm/N}$으로 정의한다(np.fft.rfft(u) / N). 함수 energy_spectrum(u, L)을 완성해 (k, E)를 반환한다.

• k: shape (N//2 + 1,), 파수 $k_m = 2\pi m / L$, $m = 0, 1, \dots, N/2$
• E: shape (N//2 + 1,), 모드 $m$이 담는 에너지

$$E_0 = \tfrac{1}{2}|\hat{u}_0|^2, \qquad E_m = |\hat{u}_m|^2 \ \ (0 < m < N/2), \qquad E_{N/2} = \tfrac{1}{2}|\hat{u}_{N/2}|^2 \ \ (N \text{ 짝수}).$$

$0 < m < N/2$에서 계수가 두 배인 것은 음의 파수 $-m$의 몫을 합쳤기 때문이다. 이렇게 정의하면 Parseval 등식

$$\sum_m E_m = \frac{1}{N}\sum_j \frac{u_j^2}{2}$$

이 성립한다. 우변은 격자점 평균 운동에너지다. $N$은 짝수라고 가정한다.

테스트는 다음을 확인한다.

• 무작위 장에서 Parseval 등식이 성립한다.
• $u = A\sin(3 \cdot 2\pi x/L)$이면 에너지가 $m = 3$ 하나에 모이고 그 값은 $A^2/4$이다.
• 상수 장 $u = c$이면 $E_0 = c^2/2$이고 나머지는 0이다.
• $L = 2\pi$이면 파수가 정수 $0, 1, \dots, N/2$이다.