실습 · 연습문제 2개

선형사상 $T: V \to V$를 옛 basis에서 표현한 행렬이 $\mathbf{A}$이다. 새 basis 벡터들을 옛 basis의 좌표로 적어 열로 쌓은 가역행렬을 $\mathbf{S}$라 하면, 한 벡터의 좌표는 $[\mathbf{v}]_{\text{old}} = \mathbf{S}\,[\mathbf{v}]_{\text{new}}$로 이어진다.

함수 change_basis(A, S)를 완성해, 같은 사상 $T$를 새 basis에서 표현한 행렬을 반환한다.

인자	shape	의미
A	(n, n)	옛 basis에서의 행렬
S	(n, n)	열 = 새 basis 벡터의 옛 좌표

테스트는 다음을 확인한다.

• 새 좌표 $\mathbf{c}$로 준 벡터에 대해, 새 행렬로 계산한 결과를 옛 좌표로 옮긴 값이 옛 행렬로 계산한 값과 같다: $\mathbf{S}(\mathbf{A}_{\text{new}}\mathbf{c}) = \mathbf{A}(\mathbf{S}\mathbf{c})$.
• 본문의 예($x\,d/dx$를 Legendre basis로 옮기기)가 맞다.
• trace와 행렬식이 바뀌지 않는다.

힌트: 새 좌표 → 옛 좌표 → $\mathbf{A}$ 적용 → 새 좌표 순서로 생각한다. $\mathbf{S}^{-1}$을 직접 만들기보다 np.linalg.solve로 연립방정식을 푸는 편이 정확하다.

차수 $n$ 이하인 다항식 전체 $\mathcal{P}_n$에서 미분 $D(p) = p'$는 선형사상이다. 단항식 basis $(1, x, x^2, \dots, x^n)$에서 다항식 $p(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n$의 좌표는 계수 벡터 $(c_0, c_1, \dots, c_n)$이다(상수항부터).

함수 derivative_matrix(n)을 완성해, 이 basis에서 $D: \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n$를 나타내는 (n + 1, n + 1) 행렬을 반환한다. 행렬 $\mathbf{D}$는 모든 계수 벡터 c에 대해 D @ c가 $p'$의 계수 벡터(길이 n + 1, 마지막 성분은 0)가 되어야 한다.

테스트는 다음을 확인한다.

• shape이 (n + 1, n + 1)이다.
• 무작위 다항식에 대해 numpy.polynomial.polynomial.polyder의 결과와 같다.
• 상수 다항식은 0으로 간다(핵).
• $\mathbf{D}^{n+1} = \mathbf{0}$이다($n + 1$번 미분하면 0).

힌트: 행렬의 $j$번째 열(0부터 센다)은 $D(x^j) = j\,x^{j-1}$의 좌표다.